证明三角形重心判定定义

三角形的重心是三角形三条边的中线的交点，三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等。下面小编给大家带来证明三角形重心判定定义，希望能帮助到大家!nVa本库

证明三角形重心判定定义nVa本库

1、重心到顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍。nVa本库

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。nVa本库

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。nVa本库

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为((X1+X2+X3)/3，(Y1+Y2+Y3)/3。nVa本库

推论：由性质1可知GA+GB+GC=0nVa本库

向量BO与向量BF共线，故可设BO=xBF,nVa本库

根据三角形加法法则：向量AO=AB+BOnVa本库

=a+ xBF=a+ x(AF-AB)nVa本库

= a+ x(b/2-a)=(1-x)a+(x/2)b.nVa本库

向量CO与向量CD共线，故可设CO=yCD,nVa本库

根据三角形加法法则：向量AO=AC+COnVa本库

=b+ yCD=b+y(AD-AC)nVa本库

= b+y(a/2-b)=(y/2)a+(1-y)b.nVa本库

所以向量AO=(1-x)a+(x/2)b=(y/2)a+(1-y)b.nVa本库

则1-x= y/2， x/2=1-y，nVa本库

解得x=2/3,y=2/3.nVa本库

证明三角形重心判定定理nVa本库

中线定理，又称重心定理，是欧氏几何的定理，表述三角形三边和中线长度关系。nVa本库

三角形一条中线两侧所对边平方的和等于底边的平方的一半加上这条中线的平方的2倍。nVa本库

在△ABC中，AI为BC边上的中线。求证：AB?+AC?=1/2(BC)?+2AI?nVa本库

以BC的中点I为原点，直线BC为x轴，射线IC方向为x轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系。设A点坐标为(m，n)，B点坐标为(-a，0)，则C点坐标为(a，0)。nVa本库

过A点做AD⊥x轴交x轴于点D，AE⊥y轴交y轴于点E，则D(m，0)，E(0，n)。nVa本库

由勾股定理可得nVa本库

AO?=m?+n?,nVa本库

中线定理的证明nVa本库

中线定理的证明nVa本库

AB?=(a-m)?+n?=a?-2am+m?+n?,nVa本库

AC?=(a+m)?+n?=a?+2am+m?+n?.nVa本库

∴AB?+AC?=a?+2am+m?+n?+a?-2am+m?+n?nVa本库

=2a?+2m?+2n?=2a?+2(m?+n?)nVa本库

又∵AO?=m?+n?,nVa本库

∴AB?+AC?=2a?+2AO?nVa本库

又∵B(-a，0)，C(a，0),nVa本库

∴a=BCnVa本库

∴a?=BC?nVa本库

∴2a?=2·BC?=BC?nVa本库

∴AB?+AC?=BC?+2AO?=BC?+2AI?。nVa本库

证明三角形重心判定性质nVa本库

1、三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等。nVa本库

2、三角形的重心也是它的中点三角形的重心。nVa本库

证明：过E作EH∥BF交AC于H。nVa本库

∵AE=BE，EH//BFnVa本库

∴AH=HF=1/2AF(平行线分线段成比例定理)nVa本库

又∵ AF=CFnVa本库

∴HF=1/2CFnVa本库

∴HF:CF=1/2nVa本库

∵EH∥BFnVa本库

∴EG:CG=HF:CF=1/2nVa本库

∴EG=1/2CGnVa本库

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